16 Nisan 2013 Salı

Tolga Yağmur
11 - D 
8035
www.facebook.com/zeksvecuvara

ARİTMETİK DİZİ ve GEOMETRİK DİZİ
I. ARİTMETİK DİZİ
A. TANIM
Ardışık her iki terimi arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir.
Yani her n pozitif tam sayısı için,
olacak şekilde bir  varsa, (an) dizisine aritmetik dizi;
d sayısına da aritmetik dizinin ortak farkı denir.
B. GENEL TERİM
İlk terimi a1 ve ortak farkı d olan (an) aritmetik dizisinin genel terimini a1 ve d türünden bulalım:
C. ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
Özellik
p < n olmak üzere, bir aritmetik dizinin;
genel terimi,
ortak farkı,
Özellik
Sonlu bir aritmetik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
Özellik
x ile y gibi iki reel sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan (n + 2) terimli aritmetik dizinin ortak farkı,
şeklindedir.
Özellik
Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
Özellik
Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn olsun.
Buna göre,
II. GEOMETRİK DİZİ
A. TANIM
Ardışık her iki terimi arasındaki oran eşit olan diziye geometrik dizi denir.
Yani her n pozitif tam sayısı için,
olacak şekilde bir  varsa, (an) dizisine geometrik dizi;
r sayısına da geometrik dizinin ortak çarpanı ya da ortak oranı denir.
B. GENEL TERİM
İlk terimi a1 ve ortak oranı r olan (an) geometrik dizisinin genel terimini a1 ve r türünden bulalım:
C. GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
Özellik
p < n olmak üzere, bir geometrik dizinin;
genel terimi,
ortak farkı,
Özellik
x ile y gibi iki reel sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan (n + 2) terimli geometrik dizinin ortak çarpanı,
şeklindedir.
Özellik
Sonlu bir geometrik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir.
Özellik
Bir geometrik dizide ilk n terim çarpımı,
Özellik
Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.
Diğer bir deyişle, bir geometrik dizide, herhangi bir terimin karesi kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir.
Özellik
Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn olsun.
Özellik
x, y, z sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
x = y = z dir.
Hem aritmetik hem de geometrik olan dizi, sabit dizidir.
Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizi ve ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir.

A. SERİLER
Tanım
(an) reel terimli bir dizi olmak üzere,
      

sonsuz toplamına seri denir.
an ye serinin genel terimi denir.
Tanım
Serinin ilk n teriminin toplamı olan,
      

ifadesine serinin n. kismî toplamı denir.
      

dizisine serinin kısmî toplamlar dizisi denir.
Kural
Bir serinin değeri (toplamı), kısmî toplamlar dizisinin limitine eşittir.
      

Tanım
Kısmî toplamlar dizisi yakınsak olan seriye yakınsak seri, kısmî toplamlar dizisi ıraksak olan seriye ıraksak seri denir.
 serisinin kısmî toplamlar dizisi (Sn) olsun.
 1. (Sn) dizisi ıraksak ise  serisi de ıraksaktır.
 2. (Sn) dizisi yakınsak ise  serisi de yakınsaktır.

Kural
 1.  serisi yakınsak ise lim(an) =0 dır.
 2. lim(an) = 0 iken  yakınsak olmayabilir.
 3. lim(an¹ 0 iken  ıraksaktır.


B. ARİTMETİK SERİLER
(an) dizisi bir aritmetik dizi ise,
      

serisine aritmetik seri denir.
Aritmetik serinin n. kismî toplamı:

C. GEOMETRİK SERİLER
(an) dizisi bir geometrik dizi ise,
      

serisine geometrik seri denir.
 geometrik serisinin n. kismî toplamı:

      

Kural
      geometrik serisinde;
      |r| ³ 1 ise seri ıraksaktır.
      |r| < 1 ise seri yakınsaktır.
Yakınsak ise, serinin toplamı:
     





Aritmetik Diziler ve Seriler 




Aritmetik ve Geometrik Diziler Soru ve Çözümleri




ÜSS-ÖYS-ÖSS-YGS-LYS SINAVINDA ÇIKMIŞ DİZİLER SERİLER SORULARI ve ÇÖZÜMLERİ